等边三角形练习题

等边三角形是三边长度相等的三角形，也是最简单的一种特殊三角形。它具有一些特殊性质和性质，以下将对等边三角形的性质进行详细讲解。

等边三角形的定义

等边三角形是指三条边长完全相等的三角形。也可以理解为，一个三角形的三个边全部相等，那么这个三角形就是等边三角形。用符号表示为ABC，其中AB=BC=AC。

等边三角形的性质

1. 等边三角形的内角都是60度。根据三角形内角和定理可知，三角形的三个内角之和等于180度。因为等边三角形的三个边相等，所以它的三个内角也相等，即每个内角都是60度。

2. 等边三角形的高、中线、角平分线重合。等边三角形的高是从顶点向对边画的垂直线段，中线是从一个顶点向对边的中点画的线段，角平分线是从顶点向对边的角平分点画的线段。在等边三角形中，这三条线段是完全重合的，它们都经过三角形的内心。

3. 等边三角形的内角平分线也是高线、中线。等边三角形的内角平分线是从顶点向对边的内角平分点画的线段，它也是等边三角形的高、中线。

4. 等边三角形的重心、外心、垂心与顶点重合。重心是从三角形三个顶点向对边的中点画的线段的交点，外心是通过三角形顶点的垂直平分线的交点，垂心是通过三角形顶点向对边画垂线的交点。在等边三角形中，这三个点都重合于顶点。

5. 等边三角形的外角都是120度。等边三角形的外角是指一个内角的补角，即180度减去该内角的度数。因为等边三角形的内角都是60度，所以它的外角都是120度。

等边三角形的面积

等边三角形的面积可以通过以下公式计算：

面积 = (√3/4) * 边长的平方

这个公式的推导过程可以通过将等边三角形分成两个等腰直角三角形来得到，具体推导过程如下：

首先，将等边三角形的一个顶点向底边的中点引垂直线段，可以将等边三角形分成两个等腰直角三角形。

由于等边三角形的三边都相等，所以它的底边的中点也就是等边三角形的底边中点。

令等边三角形的边长为a，则等腰直角三角形的直角边长为a/2，斜边长为a。

根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边长平方等于直角边长平方的和，即：

(a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2

解方程可得：

a^2/4 + a^2/4 = a^2

a^2/2 = a^2

1/2 = a^2 / a^2

1/2 = 1

可见，等边三角形的面积等于1/2。

综上所述，等边三角形是指三边长度完全相等的三角形。它具有许多特殊性质和性质，例如内角都是60度、高、中线、角平分线重合、内角平分线也是高线、中线，以及重心、外心、垂心与顶点重合等。等边三角形的面积可通过公式计算得到。等边三角形是初等几何中的基础概念，对于学习和理解三角形的性质和计算具有重要作用。